cho đa thức f(x)=\(ax^3+bx^2+cx+d\) với các hệ số a , b , c , d là các số nguyên
Chứng minh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=53 và f(3)=35
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 5 2018
Ta có : \(f(7)=a\cdot7^3+2\cdot b\cdot7^2+3\cdot c\cdot7+4d=343a+98b+21c+4d\)
Lại có : \(f(3)=a\cdot3^3+2\cdot b\cdot3^2+3\cdot c\cdot3+4d=27a+18b+9c+4d\)
Giả sử phản chứng nếu \(f(7)\)và \(f(3)\)đồng thời bằng 73 và 58 suy ra là :
\(f(7)-f(3)=(343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=73-58=15\)
\(\Rightarrow f(7)-f(3)=316a+90b+12c=15\)
Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k
\(f(7)-f(3)=2k=15\)
Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai
=> đpcm
HS
3 tháng 5 2018
Ta có f(7) = a.7^3+2.b.7^2+3.c.7+4d = 343a +98b+21c+4d
Lại có f(3)= \(a.3^3+2.b.3^2+3.c.3+4.d=27a+18b+9c+4d\\ \)
Giả sử phản chứng : Nếu f(7) và f(3) đồng thời bằng 73 và 58 thì suy ra : \(f\left(7\right)-f\left(3\right)=\left(343a-27a\right)+\left(98b-18b\right)+\left(21c-9c\right)+\left(4d-4d\right)=73-58=15\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)-f\left(3\right)=316a+90b+12c=15\)
Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k
\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)-f\left(3\right)=2k=15\)
Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai
\(\Rightarrow\)\(\left(ĐPCM\right)\)
4 tháng 5 2018
Ko biết là bạn có cần nữa ko.
Nhưng mình vẫn trả lời cho những bạn khác đang cần.
Do P(0) và P(1) lẻ nên ta có:
P(0)=d=> d là số lẻ
P(1)=a+b+c+d => a+b+c+d là số lẻ
Giả sử y là nghiệm nguyên của P(x). Khi đó:
P(y)=ay^3+by^2+cy+d=0
=>ay^3+by^2+cy=-d
Mà d là số lẻ
=>y là số lẻ
Lại có: P(y)-P(1)=(ay^3+by^2+cy+d)-(a+b+c+d)
=a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)+(d-d)
=a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)
Do y là số lẻ=>P(y)-P(1) là số chẵn(1)
Mà P(y)-P(1)= 0-a+b+c+d
=-a-b-c-d
Do a+b+c+d lẻ
=>-a-b-c-d lẻ
Hay P(y)-P(1) là số lẻ(2)
Vì (1) và (2) mâu thuẫn
=> Giả sử sai
Hay f(x) ko thể có nghiệm là các số nguyên(ĐCCM)
15 tháng 7 2016
Mấy cái này mk kho bít sorry!!!!!!253564656464646474748949474626515466575757575665555
7 tháng 2 2022
Giả sử tồn tại \(f\left(7\right)=72\) và \(f\left(3\right)=42\). Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(7\right)=a.7^3+2.b.7^2+3.c.7+4d=343a+98b+21c+4d\\f\left(3\right)=a.3^3+2.b.3^3+3.c.3+4d=27a+18b+9c+4d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(7\right)+f\left(3\right)=\left(343a+27a\right)+\left(98b+18b\right)+\left(21c+9c\right)+\left(4d+4d\right)=370a+116b+30c+8d⋮̸2\)
Mà \(f\left(7\right)+f\left(3\right)=72+42=112⋮2\)
Từ hai điều trên suy ra giả thiết sai.
Vậy không thể tồn tại \(f\left(7\right)=72\) và \(f\left(3\right)=42\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 12 2021
Lời giải:
Giả sử tồn tại điều như đề nói.
$f(7)=343a+98b+21c+4d=72$
$f(3)=27a+18b+9c+4d=42$
$\Rightarrow f(7)-f(3)=316a+80b+12c=30$
$\Rightarrow 4(79a+20b+3c)=30$
$\Rightarrow 79a+20b+3c=\frac{30}{4}\not\in\mathbb{Z}$
(vô lý vì $a,b,c$ là các số nguyên)
Do đó điều giả sử là sai, tức là không tồn tại $f(7)=72$ và $f(3)=42$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
CHO ĐA thức f(x)=\(ax^3 bx^2 cx d\). Chứng minh rằng nếu f(X) nhận giá tri nguyên vs mọi giá trị nguyên của x thì d,2b,6... - Hoc24
29 tháng 11 2023
\(f\left(x\right)=ax^3+2bx^2+3cx+4d\)
\(f\left(7\right)=a\cdot7^3+2b\cdot7^2+3c\cdot7+4d\)
\(=343a+98b+21c+4d\)
\(f\left(3\right)=a\cdot3^3+2b\cdot3^2+3c\cdot3+4d\)
\(=27a+18b+9c+4d\)
\(f\left(7\right)+f\left(3\right)=343a+98b+21c+4d+27a+18b+9c+4d\)
\(=370a+116b+30c+8d\)
\(=2\left(185a+58b+15c+4d\right)⋮2\)
mà f(7)+f(3)=72+42=114 chia hết cho 2
nên có tồn tại f(7)=72 và f(3)=42 nha bạn
Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:
\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)
\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)
\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên
Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
em cảm ơn thầy